수학적 귀납법은 진실 또는 거짓 진술을 증명하는 데 사용되는 연역적 방법입니다.
고등학교에서 수학 유도를 공부 했어야합니다. 아시다시피, 수학적 귀납법은 수학적 논리의 확장입니다.
응용 프로그램에서 수학적 논리는 거짓 또는 참, 동등 또는 부정 진술을 연구하고 결론을 도출하는 데 사용됩니다.
기본 개념
수학적 귀납법은 진실 또는 거짓 진술을 증명하는 데 사용되는 연역적 방법입니다.
이 과정에서 일반적으로 인정되는 진술의 유효성을 기반으로 결론을 도출하여 특정 진술도 사실 일 수 있습니다. 또한 수학적 귀납법의 변수도 자연수 집합의 구성원으로 간주됩니다.
기본적으로 공식이나 진술이 사실인지 또는 그 반대인지를 증명하기 위해 수학적 귀납법에는 세 단계가 있습니다.
이러한 단계는 다음과 같습니다.
- n = 1에 대해 진술 또는 공식이 참임을 증명하십시오.
- n = k에 대해 진술이나 공식이 참이라고 가정합니다.
- n = k + 1에 대해 진술 또는 공식이 참임을 증명하십시오.
위의 단계에서 우리는 명령문이 n = k 및 n = k + 1에 대해 검증 가능해야한다고 가정 할 수 있습니다.
수학적 귀납법의 유형
수학적 귀납법을 통해 풀 수있는 다양한 수학적 문제가 있습니다. 따라서 수학적 귀납법은 세 가지 유형, 즉 시리즈, 나눗셈 및 부등식으로 나눌 수 있습니다.
1. 시리즈
이러한 유형의 시리즈에서 일반적으로 수학적 귀납 문제는 연속 덧셈의 형태로 발견됩니다.
따라서 시리즈 문제에서 진실은 첫 번째 항, k- 항과 th- 항 (k + 1)에서 증명되어야합니다.
2. 분할
다음 문장을 사용하는 다양한 문제에서 나누기 수학 유도 유형을 찾을 수 있습니다.
- a는 b로 나눌 수 있습니다.
- b의 요인
- b는 a를 나눈다
- a 배수 b
이 네 가지 특징은 문장이 나눗셈 형식의 수학적 귀납법을 사용하여 풀 수 있음을 나타냅니다.
기억해야 할 것은 숫자 a를 b로 나눌 수 있다면 a = bm 이고 여기서 m은 정수입니다.
3. 불평등
불평등의 유형은 명령문에있는 것보다 많거나 적은 부호로 표시됩니다.
부등식의 수학적 귀납 유형을 해결하는 데 자주 사용되는 속성이 있습니다. 이러한 특성은 다음과 같습니다.
- a> b> c ⇒ a> c 또는 a <b <c ⇒ a <c
- a 0 ⇒ ac <bc 또는 a> b 및 c> 0 ⇒ ac> bc
- a <b ⇒ a + c <b + c 또는 a> b ⇒ a + c> b + c
수학적 귀납 문제의 예
다음은 수학적 귀납법을 사용하여 공식 증명을 푸는 방법을 더 잘 이해할 수 있도록 예제 문제입니다.
열
예 1
n 개의 자연수마다 2 + 4 + 6 +… + 2n = n (n + 1)을 증명하십시오.
대답:
P (n) : 2 + 4 + 6 +… + 2n = n (n + 1)
n = (n)이 모든 n ∈ N에 대해 참임을 증명할 것입니다.
첫 번째 단계 :
n = (1)이 정확함이 표시됩니다.
2 = 1 (1 + 1)
따라서 P (1)이 맞습니다
두 번째 단계 :
n = (k)가 참이라고 가정합니다.
2 + 4 + 6 +… + 2k = k (k + 1), k ∈ N
세 번째 단계
n = (k + 1)도 참임을 알 수 있습니다.
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)
가정에서 :
2 + 4 + 6 +… + 2k = k (k + 1)
u k + 1로 양쪽을 더합니다 .
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = k (k + 1) + 2 (k + 1)
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 2)
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)
따라서 n = (k + 1)이 맞습니다.
예 2
수학적 귀납법을 사용하여 방정식 증명
Sn = 1 + 3 + 5 +7 +… + (2n-1) = n2 (모든 정수 n ≥ 1)
대답:
첫 번째 단계 :n = (1)이 정확함이 표시됩니다.
S1 = 1 = 12
두번째 단계
n = (k)가 참이라고 가정합니다.
1 + 3 + 5 +7 + ... + 2 (k) -1 = k2
1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) = k 2
세 번째 단계
n = (k + 1)이 참임을 증명
1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) + [2 (k + 1)-1] = (k + 1) 2
1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) = k2
그때
k2 + [2 (k + 1)-1] = (k + 1) 2
k2 + 2k + 1 = (k + 1) 2
(k + 1) 2 = (k + 1) 2
그러면 위의 방정식이 증명됩니다.
예제 3
1 + 3 + 5 +… + (2n-1) = n2가 n 개의 자연수마다 참 임을 증명
대답:
첫 번째 단계 :
n = (1)이 정확함이 표시됩니다.
1 = 12
따라서 P (1)이 맞습니다
두 번째 단계 :
n = (k)가 참이라고 가정합니다.
1 + 3 + 5 +… + (2k-1) = k2, k ∈ N.
세 번째 단계 :
n = (k + 1)도 참임을 알 수 있습니다.
1 + 3 + 5 +… + (2k-1) + (2 (k + 1)-1) = (k + 1) 2
가정에서 :1 + 3 + 5 + ... + (2k-1) = k2
u k + 1로 양쪽을 더합니다 .
1 + 3 + 5 + ... + (2k-1) + (2 (k + 1)-1) = k2 + (2 (k + 1)-1)
1 + 3 + 5 + ... + (2k-1) + (2 (k + 1)-1) = k2 + 2k +1
1 + 3 + 5 + ... + (2k-1) + (2 (k + 1)-1) = (k + 1) 2
따라서 n = (k + 1)도 참입니다
분할
예 4
n3 + 2n이 n 개의 자연수마다 3으로 나눌 수 있음을 증명하십시오.
대답:
첫 번째 단계 :
n = (1)이 정확함이 표시됩니다.
13 + 2.1 = 3 = 3.1
따라서 n = (1)이 맞습니다.
또한 읽으십시오 : 공산주의 이데올로기의 이해와 특성 + 예두 번째 단계 :
n = (k)가 참이라고 가정합니다.
k3 + 2k = 3m, k ∈ NN
세 번째 단계 :
n = (k + 1)도 참임을 알 수 있습니다.
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3p, p ∈ ZZ
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = (k3 + 3k2 + 3k + 1) + (2k + 2)
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = (k3 + 2k) + (3k2 + 3k + 3)
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3m + 3 (k2 + k + 1)
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3 (m + k2 + k + 1)
m은 정수이고 k는 자연수이므로 (m + k2 + k + 1)은 정수입니다.
p = (m + k2 + k + 1)이라고 가정하면
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3p, 여기서 p ∈ ZZ
따라서 n = (k + 1)이 맞습니다.
불평등
예 5
모든 자연수에 대해 n ≥ 2가 유효 함을 증명
3n> 1 + 2n
대답:
첫 번째 단계 :
n = (2)가 정확함이 표시됩니다.
32 = 9> 1 + 2.2 = 5
따라서 P (1)이 맞습니다
두 번째 단계 :
n = (k)가 참이라고 가정합니다.
3k> 1 + 2k, k ≥ 2
세 번째 단계 :
n = (k + 1)도 참임을 알 수 있습니다.
3k + 1> 1 + 2 (k + 1)
3k + 1 = 3 (3k)3k + 1> 3 (1 + 2k) (3k> 1 + 2k 때문에)
3k + 1 = 3 + 6k
3k + 1> 3 + 2k (6k> 2k 때문에)
3k + 1 = 1 + 2k + 2
3k + 1 = 1 + 2 (k + 1)
따라서 n = (k + 1)도 참입니다
예제 6
모든 자연수에 대해 n ≥ 4가 유효 함을 증명
(n + 1)! > 3n
대답:
첫 번째 단계 :
n = (4)가 정확함이 표시됩니다.
(4 + 1)! > 34
왼쪽 : 5! = 5.4.3.2.1 = 120
오른쪽 : 34 = 81
따라서 n = (4)가 맞습니다.
두 번째 단계 :
n = (k)가 참이라고 가정합니다.
(k + 1)! > 3k, k ≥ 4
세 번째 단계 :
n = (k + 1)도 참임을 알 수 있습니다.
(k + 1 + 1)! > 3k + 1
(k + 1 + 1)! = (k + 2)!(k + 1 + 1)! = (k + 2) (k + 1)!
(k + 1 + 1)! > (k + 2) (3k) ((k + 1) 때문에!> 3k)
(k + 1 + 1)! > 3 (3k) (k + 2> 3 때문에)
(k + 1 + 1)! = 3k + 1
따라서 n = (k + 1)도 참입니다
